Question

7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-2ax+3与x轴负半轴交于A，与x轴的正半轴交于点B，与y轴的正半轴交于点C，且AB=4．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，连接AC，BC，点D在第一象限内抛物线上，过D作DE∥AC，交线段BC于E，若DE=$\sqrt{5}$EC，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DC并延长，交x轴于点F，点P在第一象限的抛物线上，连接PF，作CQ⊥PF，交x轴于Q，连接PQ，当∠PQC=2∠PFQ时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴x=1，AB=4，求出点A、B坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图2中，作DH⊥AB于H交BC于K，作EM⊥DH于M，交OC于N．设EM=x．想办法表示出点D坐标，代入抛物线的解析式即可解决问题．
（3）如图3中，作PN⊥AB于N，QM⊥AB交BC于M．设P（m，n），想办法列出关于m，n的方程组即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0），
把A（-1，0）代入抛物线的解析式得a+2a+3=0，
∴a=-1．

（2）如图2中，作DH⊥AB于H交BC于K，作EM⊥DH于M，交OC于N．设EM=x．

∵AC∥DE，CO∥DM，
∴∠ACO=∠EDM，∵∠AOC=∠EMD，
∴△ACO∽△EDM，
∴$\frac{OA}{EM}$=$\frac{CO}{DM}$，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{3}{DM}$，
∴DM=3x，DE=$\sqrt{E{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
∵DE=$\sqrt{5}$CE，
∴EC=$\sqrt{2}$x，
∵OC=OB=3，
∴BC=3$\sqrt{2}$，∠OCB=∠OBC=45°，
∴EN=EM=MK=x，EC=EK=$\sqrt{2}$x，
∴BK=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$x，
∴BH=KH=3-2x，
∴DH=3+2x，
∴D（2x，3+2x）代入y=-x²+2x+3，
3+2x=-4x²+4x+3，
解得x=$\frac{1}{2}$或0（舍弃），
∴D（1，4）．

（3）如图3中，作PN⊥AB于N，QM⊥AB交BC于M．设P（m，n）．

∵C（0，3），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$），
∴直线CD的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+3，
∴F（-2，0）
∵∠OCQ+∠OQC=90°，
∠PFO+∠CQF=90°，
∴∠PFQ=∠OCQ，
∵OC∥QM，
∴∠OCQ=∠CQM，
∵∠CQP=2∠PFQ，
∴∠PQM=∠CQM，
∵QM∥PN，
∴∠MQP=∠QPN，
∴∠QPN=∠NFP，∵∠PNQ=∠PNF，
∴△PNQ∽△FNP，
∴PN²=NQ•NF，
∴NQ=$\frac{{m}^{2}}{n+2}$，OQ=m-$\frac{{m}^{2}}{n+2}$，
∵tan∠OCQ=tan∠PFN，
∴$\frac{m-\frac{{m}^{2}}{m+2}}{3}$=$\frac{m}{n+2}$，
∴n-m=1  ①，
又∵n=-m²+m+3   ②，
由①②可得，$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{2}}\\{n=1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-\sqrt{2}}\\{n=1-\sqrt{2}}\end{array}\right.$（舍弃），
∴点P坐标（$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用转化的思想思考问题，把问题转化为方程组解决，属于中考压轴题．