Question

19．如图，在?ABCD中，EF经过对角线的交点O，且EF⊥AC分别交CD、AB于点E，F，试说明四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 由ASA证明△AOF≌△COE，得出对应边相等EO=FO，证出四边形AECF为平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AF∥EC．
∴∠FAC=∠ECA．
在△AOF与△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠ECA}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOF=∠COE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形．

点评 本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．