Question

如图点P是函数y=

1

2

x（x＞0）图象上一动点，直线PA⊥x轴，垂足为点A，交函数y=

1

x

（x＞0）图象于点M，直线PB⊥y轴，垂足为点B，交函数的y=

1

x

（x＞0）的图象于点N（点M、N不重合）．
（1）当点P的横坐标为2时，求△PMN的面积；
（2）证明：MN∥AB（如图1）；
（3）当△OMN为直角三角形时，求出此时点P的坐标．（直接写出结果）

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据点P是函数y=

1

2

x（x＞0）图象上一动点把x=2代入求出y的值即可得出P点坐标，再求出MN的坐标，根据三角形的面积公式求解即可；
（2）设点P的坐标为（2a，a）、（a＞0），则A（2a，0）、M（2a，

1

2a

）、B（0，a）、N（

1

a

，a），再根据相似三角形的判定定理得出△MPN∽△APB，由相似三角形的性质即可的得出结论；
（3）分∠ONM=90°与∠OMN=90°两种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵把x=2代入y=

1

2

x，得y=1，
∴P（2，1）
把x=2代入y=

1

x

，得y=

1

2

，
∴M（2，

1

2

）
把y=1代入y=

1

x

，得x=1，
∴N（1，1）
∴S_△PMN=

1

2

PM•PN=

1

2

×

1

2

×1=

1

4

；

（2）设点P的坐标为（2a，a）、（a＞0），则A（2a，0）、M（2a，

1

2a

）、B（0，a）、N（

1

a

，a），
∴

PA

PB

=

a

2a

=

1

2

，

PM

PN

=

a- 1 2a

2a- 1 a

=

1

2

，
∴

PA

PB

=

PM

PN

，即

PM

PA

=

PN

PB

．
又∵∠MPN=∠APB，
∴△MPN∽△APB，
∴∠PMN=∠PAB，
∴MN∥AB；

（3）∵M（2a，

1

2a

）、N（

1

a

，a），
∴ON²=（

1

a

）²+a²，OM²=（2a）²+（

1

2a

）²，MN²=（2a-

1

a

）²+（

1

2a

-a）²，
①∠ONM=90°时，
∵ON²+MN²=OM²，即（

1

a

）²+a²+（2a-

1

a

）²+（

1

2a

-a）²=（2a）²+（

1

2a

）²，解得a=

2

∴P（2

2

，

2

）；
②∠OMN=90°时，
∵OM²+MN²=ON²，即（2a）²+（

1

2a

）²+（2a-

1

a

）²+（

1

2a

-a）²=（

1

a

）²+a²，解得a=

2

4

．
∴P（

2

2

，

2

4

）．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数及反比例函数图象上点的坐标特点、勾股定理等知识，难度适中．