Question

在平行四边形ABCD的对角线AC上截取AE=CF，作EH⊥BC，FG⊥AD．求证：GH与EF互相平分．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：证明题

分析：设EF和GH交于点O，可先证明EH∥FG，可得到∠HEO=∠GFO，结合条件可证明△OEH≌△OFG，可证得OE=OF，OG=OH．

解答：证明：
如图，设EF、GH交于点O，
∵EH⊥BC，FG⊥AD，
∴EH∥FG，
∴∠HEO=∠GFO，
又四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，且AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
在△OEH和△OFG中

∠HEO=∠GFO OE=OF ∠EOH=∠FOG

∴△OEH≌△OFG（ASA），
∴OG=OH，
∴EF和GH互相平分．

点评：本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形?平行四边形，②两组对边分别相等的四边形?平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形?平行四边形，④两组对角分别相等的四边形?平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形?平行四边形．