Question

如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6

3

cm．
（1）直线AC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）连结BC、OD、OC，OC交BD于E，如图，根据圆周角定理得∠BOC=2∠BDC=60°，再根据平行线的性质，由AC∥BD得∠A=∠OBD=30°，则∠ACO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC为⊙O的切线；
（2）根据平行线的性质，由OC⊥AC，BD∥AC得OC⊥BD，再利用垂径定理得BE=DE=

1

2

BD=3

3

，则利用∠OBE=30°，可计算出OE=

3

3

BE=3，OB=2OE=6，接着判断四边形BODC为菱形，得到S_△CDE=S_△OBE，所以由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积，然后根据扇形面积公式求解．

解答：解：（1）直线AC与⊙O相切．理由如下：
连结BC、OD、OC，OC交BD于E，如图，
∵∠BOC=2∠BDC=2×30°=60°，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠ACO=180°-∠A-∠AOC=90°，
∴OC⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：∵OC⊥AC，BD∥AC，
∴OC⊥BD，
∴BE=DE=

1

2

BD=3

3

，
∵∠OBE=30°，
∴OE=

3

3

BE=3，OB=2OE=6，
∴CE=OE，
∴OC和BD互相垂直平分，
∴四边形BODC为菱形，
∴S_△CDE=S_△OBE，
∴由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积=S_扇形BOC=

60•π•62

360

=6π（cm²）．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．