Question

已知：D为△ABC所在平面内一点，且DB=DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE=DF．
（1）当点D在BC边上时（如图），判断△ABC的形状（直接写出答案）；
（2）当点D在△ABC内部时，（1）中的结论是否一定成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例（画图说明）．
（3）当点D在△ABC外部时，（1）中的结论是否一定成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例（画图说明）．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形；（2）先画图，根据已知可证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，由DB=DC，可得∠DBC=∠DCB，从而可得∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形；（3）通过画图可知当点D在在△ABC外部时，（1）中的结论不一定成立，

解答：解：（1）△ABC是等腰三角形．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，
∵DB=DC，
在Rt△EBD与Rt△FCD中，

DE=DF DB=DC

∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），
∴∠EBD=∠FCD，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）如图，当点D在△ABC内部时，△ABC是等腰三角形成立，
理由：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，
∵DB=DC，
在Rt△EBD与Rt△FCD中，

DE=DF DB=DC

∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），
∴∠EBD=∠FCD，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠EBD+∠DBC=∠FCD+∠DCB，
即∠EBD=∠FCD，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）当点D在在△ABC外部时，（1）中的结论不一定成立，
反例如图：

点评：本题主要考查三角形全等的判定、性质及学等腰三角形的判定方法，证明此题的关键是用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．