Question

【题目】直线y=﹣ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y=x+m经过点C，交x轴于点E．
①请直接写出点C、点D的坐标，并求出m的值；
②点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与0、B重合），
经过点P且平行于x轴的直线交AB于M、交CE于N．设线段MN的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
③当t=2时，线段MN，BC，AE之间有什么关系？（写出过程）

Answer 1

【答案】解：①∵直线y=﹣ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为（3，0）点B的坐标为（0，4），
∵四边形ABCD是菱形，
∵直线y=x+m经过点C，
∴m=9，
②∵MN 经过点P（0，t）且平行于x轴，
∴可设点M的坐标为（xM ， t），点N的坐标为（xN ， t），
∵点M在直线AB上，
直线AB的解析式为y=﹣ x+4，
∴t=﹣ xM+4，得xM=﹣ t+3，
同理点N在直线CE上，直线CE的解析式为y=x+9，
∴t=xN+9，得xN=t﹣9，
∵MN∥x轴且线段MN的长度为d，
∴d=xM﹣xN=﹣ t+3﹣（t﹣9）=﹣ t+12（0≤t≤4）
③MN= （BC+AE）．
理由：当t=2时，P（0，2），
∴OP=2，
∵OB=4，
∴点P是OB中点，
∵MN∥x轴，
∴MN是梯形ABCE的中位线，
∴MN= （BC+AE）．
【解析】①由直线的解析式可求出A和B点的坐标，再根据菱形的性质即可求出点C、点D的坐标，把点C的坐标代入直线y=x+m即可求出m的值；②设点M的坐标为（xM ， t），点N的坐标为（xN ， t），首先求出xM=﹣ t+3，再求出xN=t﹣9，进而得到d=xM﹣xN=﹣ t+3﹣（t﹣9）=﹣ t+12；③先求出点P的坐标，进而得出点P是OB中点，即可得出MN是梯形ABCE的中位线即可得出结论．