Question

【题目】如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．

（1）求OC、BC的长；

（2）当t＝1时，求△CPQ的面积；

（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

Answer 1

【答案】（1）OC＝2，BC＝2；（2）S△PQC＝；（3）t为或时，△OPM是等腰三角形．

【解析】

（1）求出∠B，根据直角三角形性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC即可；

（2）如图1﹣1中，作CH⊥PQ于H．当t＝1时，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1，求出PQ，CH即可解决问题．

（3）有三种情况：①OM＝PM时，求出OP＝2OQ，代入求出即可；②PM＝OP时，此时不存在等腰三角形；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG＝t﹣2，即可求出答案．

解：（1）∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，

∴∠B＝30°，

∴OA＝OB＝，

由勾股定理得：AB＝3，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，

∴OC＝BC，

在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，

∴（）2+（3﹣OC）2＝OC2，

∴OC＝2＝BC，

∴OC＝2，BC＝2．

（2）如图1﹣1中，作CH⊥PQ于H．当t＝1时，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1，

∴PQ∥OB，

∴∠CPQ＝∠B＝30°，

∵CQ＝CP．CH⊥QP，

∴QH＝PH，

∴CH＝PC＝，QH＝PH＝CH＝，

∴QP＝

∴S△PQC＝PQCH＝××＝．

（3）如图（2）所示：

∵ON⊥OB，

∴∠NOB＝90°，

∵∠B＝30°，∠A＝90°，

∴∠AOB＝60°，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC＝30°，

∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，

①OM＝PM时，

∠MOP＝∠MPO＝30°，

∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，

∴OP＝2OQ，

∴2（t﹣2）＝4﹣t，

解得：t＝，

②PM＝OP时，

此时∠PMO＝∠MOP＝30°，

∴∠MPO＝120°，

∵∠QOP＝60°，

∴此时不存在；

③OM＝OP时，

过P作PG⊥ON于G，

OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，

∴∠OPG＝30°，

∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），

∵∠AOC＝30°，OM＝OP，

∴∠OPM＝∠OMP＝75°，

∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，

∴PG＝QG＝（4﹣t），

∵OG+QG＝OQ，

∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，

解得：t＝．

综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．