Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式．

Answer 1

分析：（1）直线与圆的关系无非是相切，相交和相离，只要连接OM证明OM是否与DC垂直即可得出结论．
解题思路：通过证明三角形AOD和DOM全等来求解．已知的条件有OA=OM，一条公共边OD，只要证明出两组对应边的夹角相等即可．
可通过OD∥MB，OM=OB来证得．
（2）求MC的长就要求出DC的长，也就是要求出AC的长．已知了D的坐标，那么AD，OA，AB的长就都知道了．
不难得出三角形OMC和DAC相似，因此可得出OM，AD，CM，AC的比例关系．已知了AD，OM的长，就能求出MC，AC的比例关系了．
在直角三角形ADC中，AD的长已知，DC=DM+MC=DA+MC，那么可根据勾股定理和MC，AC的比例关系求出MC的长．也就求出了M的坐标．有了M和D的坐标可以用待定系数法求出DC所在直线的函数解析式．

解答：解：（1）答：直线DC与⊙O相切于点M．
证明如下：连OM，∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△DAO与△DMO中，

AO=OM ∠2=∠4 DO=DO

．
∴△DAO≌△DMO．
∴∠OMD=∠OAD．
由于FA⊥x轴于点A，
∴∠OAD=90°．
∴∠OMD=90°．即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．

（2）由D（-2，4）知OA=2（即⊙O的半径），AD=4．
由（1）知DM=AD=4，由△OMC∽△DAC，知

MC

AC

=

OM

AD

=

2

4

=

1

2

．
∴AC=2MC，
在Rt△ACD中，CD=MC+4．
由勾股定理，有（2MC）²+4²=（MC+4）²，解得MC=

8

3

或MC=0（不合题意，舍去）．
∴MC的长为

8

3

．
∴点C（

10

3

，0）．
设直线DC的解析式为y=kx+b．
则有

0= 10 3 k+b 4=-2k+b

．
解得

k=- 3 4 b= 5 2

．
∴直线DC的解析式为y=-

3

4

x+

5

2

．

点评：本题综合考查了全等三角形，相似三角形的判断与性质以及一次函数的应用，利用全等三角形和相似三角形来得出线段相等或成比例是解题的关键．