Question

3．在三角形ABC中，G为重心，I为内心，若AB=6，BC=5，CA=4，求$\frac{GI}{BC}$的值．

Answer 1

分析 根据三角形重心性质可得：3GI²=AI²+BI²+CI²-（AG²+BG²+CG²），求得GI后代入求值即可．

解答 解：三角形重心性质：3GI²=AI²+BI²+CI²-（AG²+BG²+CG²），
∵AB=c=6，CA=b=5，BC=a=4．
∴2s=a+b+c=15．
又∵AI²=$\frac{bc（s-a）}{s}$．AG²=$\frac{2{b}^{2}+2{c}^{2}-{a}^{2}}{9}$，
∴AI²+BI²+CI²=[（a+b+c）（bc+ca+ab）-6abc]÷（a+b+c）=26，
AG²+BG²+CG²=（a²+b²+c²）÷3=$\frac{77}{3}$，
∴3GI²=26-$\frac{77}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴GI=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{GI}{BC}$=$\frac{\frac{1}{3}}{5}$=$\frac{1}{15}$．

点评 本题考查了三角形的五心的知识，解题的关键是了解三角形重心性质：3GI²=AI²+BI²+CI²-（AG²+BG²+CG²）．