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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，直线y=-
    4
    3
    x+    4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当点P、Q运动时，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．
    （1）点Q的坐标是（
    3-
    3
    5
    t
    3-
    3
    5
    t
    ，
    4
    5
    t
    4
    5
    t
    ）（用含t的代数式表示）；
    （2）当点E在BO上时，四边形QBED能否为直角梯形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由；
    （3）当t为何值时，直线DE经过点O．
    分析：（1）首先过点Q作QF⊥OA于点F，由直线y=-
    4
    3
    x+    4与x轴交于点A，与y轴交于点B，可求得OA，OB的长，然后由勾股定理，即可求得AB的长，易得△AQF∽△ABO，然后由相似三角形的对应边成比例，即可表示出QF与AF的长，继而可求得点Q的坐标；
    （2）分别从DE∥QB与PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性质，即可求得t的值；
    （3）根据题意可知即OP=OQ时，直线DE经过点O；分别从当P从O到A与点P从A到O去分析，列方程即可求得t的值．
    解答：解：（1）过点Q作QF⊥OA于点F，
    ∵直线y=-
    4
    3
    x+    4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
    ∴点A（3，0），B（0，4），
    ∴在Rt△AOB中，AB=
    		OA2+OB2
    =5，
    ∵OA⊥OB，
    ∴QF∥OB，
    ∴△AQF∽△ABO，
    ∴
    AF
    OA
    =
    QF
    OB
    =
    AQ
    AB
    ，
    ∵AQ=t，
    即
    AF
    3
    =
    QF
    4
    =
    t
    5
    ，
    ∴AF=
    3
    5
    t，QF=
    4
    5
    t，
    ∴OF=OA-AF=3-
    3
    5
    t，
    ∴点Q的坐标为：（3-
    3
    5
    t，
    4
    5
    t）；
    故答案为：3-
    3
    5
    t，
    4
    5
    t；

    （2）四边形QBED能成为直角梯形．
    ①当0＜t＜3时，
    ∴AQ=OP=t，
    ∴AP=3-t．
    如图2，当DE∥QB时，
    ∵DE⊥PQ，
    ∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
    此时∠AQP=90°．
    由△APQ∽△ABO，得
    AQ
    AO
    =
    AP
    AB
    ．
    ∴
    t
    3
    =
    3-t
    5
    ．
    解得t=
    9
    8
    ；
    如图3，当PQ∥BO时，
    ∵DE⊥PQ，
    ∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
    此时∠APQ=90°．
    由△AQP∽△ABO，得
    AQ
    AB
    =
    AP
    AO
    ．
    即
    t
    5
    =
    3-t
    3
    ．
    解得t=
    15
    8
    ；
    ②当3＜t＜5时，AQ=t，AP=t-3，
    如图2，当DE∥QB时，
    ∵DE⊥PQ，
    ∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
    此时∠AQP=90°．
    由△APQ∽△ABO，得
    AQ
    AO
    =
    AP
    AB
    ．
    ∴
    t
    3
    =
    t-3
    5
    ．
    解得t=-
    9
    2
    （舍去）；
    如图3，当PQ∥BO时，
    ∵DE⊥PQ，
    ∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
    此时∠APQ=90°．
    由△AQP∽△ABO，得
    AQ
    AB
    =
    AP
    AO
    ．
    即
    t
    5
    =
    t-3
    3
    ．
    解得t=
    15
    2
    ＞5（舍去）；
    综上所述：t=
    9
    8
    或
    15
    8
    ；

    （3）当t=
    5
    2
    或
    45
    14
    时，DE经过点O．
    理由：①如图4，当DE经过点O时，
    ∵DE垂直平分PQ，
    ∴EP=EQ=t，
    由于P与Q运动的时间和速度相同，
    ∴AQ=EQ=EP=t，
    ∴∠AEQ=∠EAQ，
    ∵∠AEQ+∠BEQ=90°，∠EAQ+∠EBQ=90°，
    ∴∠BEQ=∠EBQ，
    ∴BQ=EQ，
    ∴EQ=AQ=BQ=
    1
    2
    AB
    ∴t=
    5
    2
    ，
    ②如图5，当P从A向O运动时，
    过点Q作QF⊥OB于F，
    ∵EP=6-t，
    ∴EQ=EP=6-t，
    ∵AQ=t，BQ=5-t，sin∠ABO=
    OA
    AB
    =
    3
    5
    ，cos∠ABO=
    OB
    AB
    =
    4
    5
    ，
    ∴FQ=
    3
    5
    （5-t）=3-
    3
    5
    t，BF=
    4
    5
    （5-t）=4-
    4
    5
    t，
    ∴EF=4-BF=
    4
    5
    t，
    ∵EF2+FQ2=EQ2，
    即（3-
    3
    5
    t）2+（
    4
    5
    t）2=（6-t）2，
    解得：t=
    45
    14
    ．
    ∴当DE经过点O时，t=
    5
    2
    或
    45
    14
    ．
    点评：此题考查了一次函数上点的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角梯形的性质．此题综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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    BD
    AB
    =
    5
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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    ．

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    x
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    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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