Question

【题目】四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．
（1）如图1，求证：CE=CD；

（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠BAC= ，EG=2，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠B+∠D=180°，

∵∠B=∠AEC，

∴∠AEC+∠D=180°，

∵∠AEC+∠CED=180°，

∴∠D=∠CED，

∴CE=CD．

（2）解：作CH⊥DE于H．

设∠ECH=α，由（1）CE=CD，

∴∠ECD=2α，

∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，

∴∠CAE+∠AEC=120°

∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，

∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，

∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，

∵∠ACD=2∠BAC，

∴∠BAC=30°+α，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°．

（3）解：连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG

∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，

∴∠AEG=∠AGE，

∴AE=AG，

∴EM=MG= EG=1，

∴∠EAG=∠ECD=2α，

∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC，

∵tan∠BAC= ，

∴设NG=5 m，可得AN=11m，AG= =14m，

∵∠ACG=60°，

∴CN=5m，AM=8 m，MG= =2m=1，

∴m= ，

∴CE=CD=CG﹣EG=10m﹣2=3

∴AE= = =7．

【解析】（1）根据圆内接四边形对角互补及平角的定义，得出∠B与∠D互补，∠AEC与∠CED互补，再根据等角的补角相等，得出∠D=∠CED，即可得出结论。
（2）作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，先用含α的代数式分别表示出∠CAE和∠BAC，即可求得∠BAD的度数。
（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，根据tan∠BAC的值，用含m的代数式分别表示出NG、AN、AG的长，再由∠ACG=60°，求出m的值，再根据勾股定理即可求得AE的长。
【考点精析】利用勾股定理的概念和圆内接四边形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；把圆分成n(n≥3):1、依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2、经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．