Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．点D，E分别在边AB，AC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连结BF，BF的中点为G．

（1）当点E与点C重合时．

①如图1，若AD＝BD，求BF的长．

②当点D从点A运动到点B时，求点G的运动路径长．

（2）当AE＝3，点G在△DEF一边所在直线上时，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）①；②

（2）或或或

【解析】

（1）①利用等腰直角三角形的性质，易证AC＝BC，∠A＝45°，利用解直角三角形求出AC，BC的长，利用旋转的性质，可证得△DCF是等腰直角三角形，从而可求出DF的长，再证明DF∥BC，可得到四边形DFCB是平行四边形，利用平行四边形的对角线的性质，可证得BF＝2GF，DC＝2CG，继而可求出CG的长，然后利用勾股定理求出GF的长，从而可求出BF的长；②如图，连接AF，取AB的中点T，连接GT，利用等腰直角三角形的性质，可证得CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∠CAB＝45°，利用SAS证明△ACF≌△BCD，利用全等三角形的性质可得到∠CAF＝∠CBD＝45°，AF＝BD，从而可证AF⊥AB，即可得到TG∥AF，就可推出TG⊥AB，由此可得点G的运动轨迹是Rt△ABC斜边的中线，即可求出点G的运动路径长．

（2）分情况讨论：当点G在直线EF上时，过点D作DJ⊥AC于点J，设AJ＝DJ＝x，则EJ＝3－x，易证△DEJ∽△EBC，利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AJ，DJ的长，在等腰直角△ADJ中，利用解直角三角形求出AD的长；当点G在直线DF上时，利用解直角三角形求出AD的长；当点G在直线DE上时，过点F作FT⊥CA交CA的延长线于点T，过点G作GK⊥AC于点K，过点D作DJ⊥AC于点J，设FT＝AT＝y，用含y的代数式表示出KG，EK的长，再证明△FET∽△EGK，利用相似三角形的对应边成比例，建立关于y的方程，解方程求出y的值，就可得到TF，TE的长，然后求出DJ的长，利用解直角三角形求出AD的长；当点G在直线DF上时，点D与点B重合，求出AD的长即可．

（1）解：如图，

①当点E与点C重合时．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，∠A＝45°，

∴AC＝BC＝ABsin∠A＝sin45°＝；

∵将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，

∴∠DCE＝90°，DE＝CF

∴△DCF是等腰直角三角形，

∵AD＝CD＝CF＝BD＝，∠DFC＝∠CDF＝45°

∴

∴BC＝DF，

∴∠A＝∠＝45°，

∴∠ADC＝180°－45°－45°＝90°，

∴∠ADF＝90°－45°＝45°＝∠ABC

∴DF∥BC

∴四边形DFCB是平行四边形，

∴BF＝2GF，DC＝2CG

∴CG＝

在Rt△EFG中

∴BF＝；

②如图，连接AF，取AB的中点T，连接GT

∵△ACB和△CDF是等腰直角三角形，

CA＝CB，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，∠CAB＝45°，

∴∠ACF＝∠BCD，

∴△ACF≌△BCD（SAS），

∴∠CAF＝∠CBD＝45°，AF＝BD，

∴∠BAF＝∠CAF＋∠CAB＝90°，

∴AF⊥AB，

∵AT＝TB，BG＝GF，

∴TG∥AF，

∴TG⊥AB，

∴点G的运动轨迹是Rt△ABC斜边的中线，运动的路径的长为；

（2）解：如图，当点G在直线EF上时，过点D作DJ⊥AC于点J，

设AJ＝DJ＝x，则EJ＝3－x，

∵∠DJE＝∠C＝∠DEB＝90°，

∴∠DEJ＋∠CEB＝90°，∠CEB＋∠CBE＝90°，

∴∠DEJ＝∠CEB

∴△DEJ∽△EBC

∴

∴

解之：

∴

∴；

当点G在直线DF上时，

由题意得：

当点G在直线DE上时，过点F作FT⊥CA交CA的延长线于点T，过点G作GK⊥AC于点K，过点D作DJ⊥AC于点J，

设FT＝AT＝y，

∵GK∥FT∥BC，GF＝GB，

∴TK＝KC，

∴

∴

∵∠T＝∠GKE＝∠FEG＝90°，

易证∠FET＝∠EGK

∴△FET∽△EGK

∴

∴

整理得：2y2＋9y－6＝0

解之：（取正值），

∴

易证△FET≌△EDJ，

∴

当点G在直线DF上时，点D与点B重合，此时

∴AD的长为或或或．

【点晴】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题，