Question

【题目】已知如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=7cm，

（1）点F在边BC上，且 BF=3，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→D→C→F运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△AFP为等腰三角形？

（2）如图2，将长方形ABCD折叠，折痕为MN，点A的对应点A′落在线段BC上，当点A′ 在BC上移动时，点M、N也随之移动，若限定点M、N分别在线段AB、AD上移动，则点A′ 在线段BC上可移动的最大距离是___________．

Answer 1

【答案】（1）5s，6s，8s，s；（2）( -3)cm；

【解析】

（1）利用辅助圆确定点P的位置，再利用等腰三角形的性质判定定理分别确定点P的运动路程，即可得到运动时间；

（2）利用M,N的运动位置确定A′的最大运动位置即可；

解：(1)①如图，以A为圆心，AF长为半径画圆，交AD于 ,则AF=A

在Rt△ABF中，AB=4cm,BF=3cm,

∴AF= =5cm;

∴AP1=AF=5cm;

∴t1=5s;

∴当t1=5s时，

②如图，以F为圆心，AF长为半径画圆，交AD于 ,则FA=F,交DC于 ，则FA=F

∵BF=3cm， AB=4cm,

∴FA= =5cm;

∴FP2=FP3=FA=5cm,

作FG⊥AD于G，则AP2=2AG=2BF=6cm，

∴t2=6s;

又∵BC=7cm,

∴FC=7-3=4cm,

∴CP3= =3cm,

∴DP3=1cm，

∴AD+DP3=8cm,

∴t3=8s;

③作AF的垂直平分线，交AD于 ，交AF于Ｈ，连接F

∵ABCD为矩形，

∴AD∥BC，∠B=90°，

∴∠DAF=∠AFB，

又∠AHP4=∠B=90°，

∴△AHP4∽△ABF,

,

∴AP4=,

∴t4=s;

综上，当t=5s，6s，8s，s时，△AFP为等腰三角形。

（2）如图, 当点M与点D重合时，

根据翻折对称性可得：DA′=DA=7cm，

在Rt△A′CD中，

A′C= =cm,

如图，当点N与点B重合时，

根据翻折对称性可得BA′=AB=4cm．
∵A′C=CB-BA′，
∴A′C=3cm．
∴点A′在BC边上可移动的最大距离为( -3)cm．