Question

9．如图：长方形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，A与原点O 重合．B、D分别在x轴和y轴上，AB=8，AD=6．
（1）直接写出C点坐标；
（2）如图①折叠△CEB使B落在线段AC的B处，折痕为CE，求E点坐标；
（3）如图②点P在线段DC上，若△PAB为等腰三角形，试求满足条件的所有P点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是矩形，于是得到CD=AB=8，BC=AD=6，∠ADC=∠CBA=90°，即可求得C（8，6）；
（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，根据折叠的性质得到CB₁=6，B₁E=BE，∠CB₁E=∠EBC=90°，于是得到AB₁=4，∠AB₁E=90°，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）如图②，若△PAB为等腰三角形：①当PA=PB，即点P在AB的垂直平分线上，于是得到P（4，6）；②当AB=AP=8，根据勾股定理得到DP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，求得P（2$\sqrt{7}$，6）；③当BA=BP=8，根据勾股定理得到即CP²+6²=8²求得P（8-2$\sqrt{7}$，0）．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，BC=AD=6，∠ADC=∠CBA=90°，
∴C（8，6）；

（2）在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵折叠△CEB使B落在线段AC的B处，
∴△BCE≌△B₁CE，
∴CB₁=6，B₁E=BE，∠CB₁E=∠EBC=90°，
∴AB₁=4，∠AB₁E=90°，
∴AE²=AB₁²+B₁E²，
即AE²=4²+（8-AE）²，
解得：AE=5，∴E（5，0）；

（3）如图②，若△PAB为等腰三角形，
①当PA=PB，即点P在AB的垂直平分线上，
∴P（4，6）；
②当AB=AP=8，
∴DP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴P（2$\sqrt{7}$，6）；
③当BA=BP=8，CP²+BC²=BP²，即CP²+6²=8²，
∴PC=2$\sqrt{7}$，
∴DP=8-2$\sqrt{7}$，
∴P（8-2$\sqrt{7}$，0）；
综上所述：若△PAB为等腰三角形，P点坐标为：（8-2$\sqrt{7}$，0），（4，0）（2$\sqrt{7}$，0）．

点评 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，求点的坐标，注意（3）要分类讨论，不要漏解．