Question

如图，在平面直角坐标系中，已知直角梯形OABC，BC∥OA，A（20，0），C（0，4），∠BOC=30°，点P在线段AO上运动，以点P为圆心作⊙P，使⊙P始终与AB边相切，切点为Q，设⊙P的半径为x，五边形OPQBC的面积为S．
（1）求点B坐标；
（2）求S关于x的函数关系式；
（3）求出（2）中x的取值范围；
（4）当x为何值时，⊙P与AB、OB都相切．（要求直接写出结果）

Answer 1

解：（1）∵BC∥OA，C（0，4），∠BOC=30°，
∴OC=BC，
∴BC=×4=4，
∴B点坐标为（4，4）；

（2）过B作BE⊥OA于E，如图，
∵⊙P与AB边相切，
∴PQ⊥AB，
∴Rt△APQ∽Rt△ABE，
∴AQ：AE=PQ：BE，即AQ：16=x：4，
∴AQ=x，
∴S=（4+20）•4-•x•x
=-x²+48；

（3）AB===4，
过B作BF⊥AB交OA于F，如图，
∴Rt△ABE∽Rt△AFB，
∴BF：BE=AB：AE，即BF：4=4：16，
∴BF=．
∴x的取值范围为0＜x≤；

（4）OB=2BC=8，
∵⊙P与AB、OB都相切，
∴点P到BO和BA的距离都等于x，
而S_△PBO+S_△PBA=S_△ABO，
∴•x•8+•x•4=•4•20，
∴x=．
分析：（1）在Rt△BCO中，利用含30°的直角三角形三边的关系得BC=×4=4，即可得到B点坐标；
（2）过B作BE⊥OA于E，根据切线的性质得到PQ⊥AB，易证Rt△APQ∽Rt△ABE，利用相似比可表示出AQ=x，再根据S=梯形ABCO的面积-三角形APQ的面积即可得到
S关于x的函数关系式；
（3）过B作BF⊥AB交OA于F，求出x的最大值即BF的长，易得∴Rt△ABE∽Rt△AFB，利用相似比可求出BF，即可得到x的取值范围；
（4）根据切线的性质得到点P到BO和BA的距离都等于x，再利用S_△PBO+S_△PBA=S_△ABO可关于x的方程，解方程即可．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了直角梯形的性质、含30°的直角三角形三边的关系、三角形的面积公式以及三角形相似的判定与性质．