Question

如图，正方形ABCD，点E为BC中点，点F在CD上，∠EAF=45°，连接EF，则∠AFE的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：

分析：首先延长EB至H，使BH=DF，连接AH，证得△ADF≌△ABH，得出∠BAH=∠DAF，AF=AH，进一步得出△FAE≌△HAE，得出∠H=∠AFE，设BH为x，正方形的边长为a，在直角三角形ECF中利用勾股定理求得x（用a表示），进一步利用勾股定理、锐角三角函数的意义在直角三角形AHB中得出答案即可．

解答：解：如图，

延长EB至H，使BH=DF，连接AH，
∵在正方形ABCD中，
∴∠ADF=∠ABH，AD=AB，
在△ADF和△ABH中，

AD=AB ∠ADF=∠ABH DF=HB

∴△ADF≌△ABH（SAS），
∴∠BAH=∠DAF，AF=AH，
∴∠FAH=90°，
∴∠EAF=∠EAH=45°，
在△FAE和△HAE中，

AF=AH ∠FAE=∠EAH AE=AE

∴△FAE≌△HAE（SAS），
∴EF=HE=BE+HB=BE+DF，∠H=∠AFE，
设BH为x，正方形的边长为2a，点E为BC中点，
∴EC=a，EF=a+x，FC=2a-x
在直角三角形ECF中，
EC²+FC²=EF²
即a²+（2a-x）²=（a+x）²
解得x=

2

3

a
则AH=

BH2+AB2

=

2 10

3

a，
∴cos∠AFE=∠H=

HB

AH

=

10

10

．
故答案为：

10

10

．

点评：此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理以及锐角三角函数的意义等知识点，注意问题的转化．