Question

如图1，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．
（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；
（2）如图2，设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：BH=BC；
（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图3，求cos∠DEM．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）CN=DM，CN⊥DM，由于点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，所以AM=DN，AD=DC，∠A=∠CDN，由此证明△AMD≌△DNC，然后利用全等三角形的性质证明 CN=DM，CN⊥DM；
（2）延长DM、CB交于点P．由AD∥BC得到∠MPC=∠MDA，而∠A=∠MBP，MA=MB，由此证明△AMD≌△BMP，然后利用全等三角形的性质即可证明题目结论；
（3）由AB∥DC，得到∠EDM=∠AMD=∠DME，接着得到EM=ED，设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，那么DE=EA′+2k．而在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²=DE²，由此可以得到关于A′E用k表示的结论，然后利用三角函数的定义即可求解．

解答：证明：（1）CN=DM，CN⊥DM，
∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，
∴AM=DN
在△AMD和△DNC中，

AM=DN ∠A=∠CDN AD=DC

，
∴△AMD≌△DNC（SAS），
∴CN=DM．∠CND=∠AMD，
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，
∴CN⊥DM，
∴CN=DM，CN⊥DM；                

（2）如图，

延长DM、CB交于点P．
∵AD∥BC，
∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，
在△AMD和△BMP中

∠MPC=∠MDA ∠A=∠MBP MA=MB

∴△AMD≌△BMP（AAS），
∴BP=AD=BC．
∵∠CHP=90°，
∴BH=BC，
（3）如图，

∵AB∥DC，
∴∠EDM=∠AMD=∠DME，
∴EM=ED．
设AD=A′D=4k，则A′M=AM=2k，
∴DE=ME=EA′+2k．
在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²=DE²，
∴（4k）²+A′E²=（EA′+2k）²，
解得A′E=3k，
∴在直角△A′DE中，cos∠DEM=

3

5

．

点评：此题主要考查了正方形的性质，同时也利用了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数的定义，综合性比较强．