Question

15．如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=$\frac{1}{n}$AD （n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB=4，n=3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S₁，矩形ABCD的面积为S₂，当$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{17}{30}$时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer 1

分析 （1）先求证△EFO≌△BGO，可得EF=BG，再根据△BOF≌△EOF，可得EF=BF；即可证明四边形BFEG为菱形；
（2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算FG的长度；
（3）根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出BG长度，根据勾股定理可求出AF的长度，即可求出ED的长度，即可计算n的值

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠EFO=∠BGO，
∵FG为BE的垂直平分线，
∴BO=OE；
∵在△EFO和△BGO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFO=∠BGO}\\{∠EOF=∠BOG}\\{EO=BO}\end{array}\right.$，
∴△EFO≌△BGO，
∴EF=BG，
∵AD∥BC，
∴四边形BGEF为平行四边形，
∵FG是BE的垂直平分线，
∴FB=FE，
∴平行四边形BGEF为菱形；
（2）当AB=4，n=3时，
∴AD=8，AE=$\frac{16}{3}$，
由勾股定理得，BE=$\frac{20}{3}$，
AF=AE-EF=AE-BF，
在Rt△ABF中AB²+AF²=BF²，即（$\frac{16}{3}$-BF）²+4²=BF²，
解得，BF=$\frac{25}{6}$，
则AF=$\frac{7}{6}$，
菱形BGEF面积=$\frac{1}{2}$BE•FG=EF•AB，即$\frac{1}{2}$×$\frac{20}{3}$×FG=$\frac{25}{6}$×4，
解得，FG=5；
（3）设AB=x，则DE=$\frac{2x}{n}$，
S₁=BG•AB，S₂=BC•AB
当$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{17}{30}$时，$\frac{BG•AB}{AB•AD}$=$\frac{17}{30}$，
则BG=$\frac{17}{15}$x，
在Rt△ABF中AB²+AF²=BF²，计算可得AF=$\frac{8}{15}$x，
∴AE=AF+FE=AF+BG=$\frac{5}{3}$x，DE=AD-AE=$\frac{1}{3}$x，
∴$\frac{1}{3}$x=$\frac{2x}{n}$，
∴n=6．

点评 本题考查的是菱形的判定和性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握菱形的底乘高和对角线求面积的计算公式，熟练运用勾股定理是解本题的关键．