Question

5．感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．
应用：如图③，四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=a，求AB-AC的值（用含a的代数式表示）

Answer 1

分析 探究：证明△DFC≌△DEB即可．
应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BE=$\frac{1}{2}$BD即可解决问题．

解答 探究：证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEB}&{\;}\\{∠FCD=∠B}&{\;}\\{DF=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DC=DB．
应用：解：如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEB}&{\;}\\{∠FCD=∠B}&{\;}\\{DC=DB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△RtADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE，
∴AB-AC=（AE+BE）-（AF-CF）=2BE，
在Rt△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=60°，BD=a，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$a
∴AB-AC=2BE=a．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．