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【题目】如图1,在正方形ABCD中,对角线ACBD相交于点EAF平分∠BAC,交BD于点F.

(1)求证:EF+AC=AB

(2)点C1从点C出发,沿着线段CB向点B运动(不与点B重合),同时点A1从点A出发,沿着BA的延长线运动,点C1A1的运动速度相同,当动点C1停止运动时,另一动点A1也随之停止运动。如图2A1F1平分∠BA1C1,交BD于点F1,过点F1F1E1A1C1,垂足为E1,请猜想E1F1A1C1AB三者之间的数量关系,并证明你的猜想;

(3)在(2)的条件下,当A1E1=3C1E1=2时,求BD的长。

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3BD=

【解析】

1)过FFMAB于点M,首先证明AMF≌△AEF,求出MF=MB,即可知道EF+AE=AB

2)连接F1C1,过点F1F1PA1B于点PF1QBC于点Q,证明RtA1E1F1RtA1PF1RtQF1C1RtE1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化简为E1F1+A1C1=AB

3)设PB=xQB=xPB=1E1F1=1,又推出E1F1+A1C1=AB,得出BD= .

(1)证明:如图1,过点FFMAB于点M,在正方形ABCD中,ACBD于点E.

AE=AC,ABD=CBD=45°

AF平分∠BAC

EF=MF

又∵AF=AF

RtAMFRtAEF

AE=AM

∵∠MFB=ABF=45°

MF=MBMB=EF

EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB.

(2)E1F1, A1C1AB三者之间的数量关系:E1F1+A1C1=AB

证明:如图2,连接F1C1,过点F1F1PA1B于点P,F1QBC于点Q

A1F1平分∠BA1C1,E1F1=PF1;同理QF1=PF1,E1F1=PF1=QF1

又∵A1F1=A1F1,RtA1E1F1RtA1PF1

A1E1=A1P

同理RtQF1C1RtE1F1C1

C1Q=C1E1

由题意:A1A=C1C

A1B+BC1=AB+A1A+BCC1C=AB+BC=2AB

PB=PF1=QF1=QB

A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1

2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1

E1F1+A1C1=AB.

(3)PB=x,则QB=x

A1E1=3,QC1=C1E1=2

RtA1BC1,A1B2+BC12=A1C12

(3+x)2+(2+x)2=52

x1=1,x2=6(舍去)

PB=1

E1F1=1

又∵A1C1=5

(2)的结论:E1F1+A1C1=AB

AB=

BD=.

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