Question

【题目】如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）．
（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；
（2）当α=30°时，求证：△AOE1为直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：AE1=BF1．

证明：∵O为正方形ABCD的中心，

∴OA=OD，

∵OF=2OA，OE=2OD，

∴OE=OF，

∵将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1

∴OE1=OF1，

∵∠F1OB=∠E1OA，OA=OB，

∴△E1AO≌△F1BO，

∴AE1=BF1

（2）证明：∵取OE1中点G，连接AG，

∵∠AOD=90°，α=30°，

∴∠E1OA=90°﹣α=60°，

∵OE1=2OA，

∴OA=OG，

∴∠E1OA=∠AGO=∠OAG=60°，

∴AG=GE1，

∴∠GAE1=∠GE1A=30°，

∴∠E1AO=90°，

∴△AOE1为直角三角形．

【解析】（1）利用旋转不变量找到相等的角和线段，证得△E1AO≌△F1BO后即可证得结论；（2）利用已知角，得出∠GAE1=∠GE1A=30°，从而证明直角三角形．
【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和旋转的性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能正确解答此题．