Question

如图，BC为半圆的直径，O为圆心，BC=10，AD与半圆相切于点D，AB交⊙O于点E，DA⊥AB，AD=4
（1）试求BE的长；
（2）求tan∠AED的值；
（3）求证：CD=DE．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）作OH⊥AB于H，连结OD，如图，先根据切线的性质得OD⊥AD，再证明四边形AHOD为矩形，则OH=AD=4，在Rt△BOH利用勾股定理计算出BH=3，然后根据垂径定理可得BE=2BH=6；
（2）由四边形AHOD为矩形得到AH=OD=5，则AB=BH+AH=8，所以AE=AB-BE=2，然后在Rt△ADE中利用正切的定义求解；
（3）由于OD∥A得∠EBD=∠ODB，加上∠OBD=∠ODB，则∠OBD=∠EBD，然后根据圆周角定理和圆心角、弧和弦的关系即可得到结论．

解答：（1）解：作OH⊥AB于H，连结OD，如图，
∵AD与半圆相切于点D，
∴OD⊥AD，
而BA⊥AD，
∴四边形AHOD为矩形，
∴OH=AD=4，
在Rt△BOH，OB=5，OH=4，
∴BH=

OB2-OH2

=3，
∵OH⊥BE，
∴BH=EH，
∴BE=2BH=6；
（2）解：∵四边形AHOD为矩形，
∴AH=OD=5，
∴AB=BH+AH=8，
∴AE=AB-BE=2，
在Rt△ADE中，tan∠AED=

AE

AD

=

2

4

=

1

2

；
（3）证明：∵OD∥AB，
∴∠EBD=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD=∠EBD，
∴

DE

=

CD

，
∴CD=DE．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理和勾股定理．