已知.如图.在平面直角坐标系中.点A.B.C分别在坐标轴上.且OA=OB=OC.S△ABC=25．点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动.连接PA.PB.D为线段AC的中点．(1)求D点的坐标,(2)设点P运动的时间为t秒.求当t为何值时.DP与DB垂直相等,(3)若PA=PB.在第四象限内有一动点Q.连QA.QB.QP.且∠QBA=∠PBQ+∠QAB=30� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

2．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，S_△ABC=25．点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA、PB，D为线段AC的中点．
（1）求D点的坐标；
（2）设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，DP与DB垂直相等；
（3）若PA=PB，在第四象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠QBA=∠PBQ+∠QAB=30°．当Q在第四象限内运动时，判断△APQ的形状，并说明理由．

分析（1）利用OA=OB=OC，且△ABC面积为25可得到OA、OB、OC的长，再由D是AC中点，由中点坐标公式可得D点坐标；
（2）作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，得出△MDB≌△NDP，进而得到t的值；
（3）在y轴负半轴上取M点，使其与A、B构成等边三角形，再证△ABQ≌△BMP，得到AQ=BP=AP，从而得到△APQ是等腰三角形．

解答解：（1）设OA=OB=OC=a，则AB=OA+OB=2a，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•OC=a²=25，
解得：a=5．
故点A（-5，0），点B（5，0），点C（0，-5）．
又∵D为线段AC的中点，
∴点D坐标为（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
（2）过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，如答图1：
∵D坐标为（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
∴DM=DN，∠MDN=90°，
∵∠MDB+∠BDN=90°，∠DNP+∠BDN=90°，
∴∠MDB=∠DNP，
∴△MDB≌△NDP（ASA），
∴PN=BM=7.5，PC=5，
∴t=5．
（3）△APQ是等腰三角形；理由如下：
在y轴负半轴上取一点M，使AM=AB，
∴△ABM为等边三角形，
∵∠PBQ+∠QAB=30°，∠PBQ+∠PBM=30°，
∴∠QAB=∠PBM，
∵∠BMO=∠ABQ=30°，
∴△ABQ≌△BMP（ASA），
∴AQ=BP，
又∵BP=AP，
∴AQ=AP，
∴△APQ是等腰三角形．

点评此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与判定、线段的垂直平分线性质等知识，根据已知作出正确辅助线，构造等边三角形，从而得出△ABQ≌△BMP是解决问题的关键．

练习册系列答案

名师名题单元加期末冲刺100分系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>