Question

20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB，交BC于点D，求CD．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，利用勾股定理列式求出AB，然后根据S_△ABC=S_△ACD+S_△ABD列方程求解即可．

解答 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵S_△ABC=S_△ACD+S_△ABD，
∴$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AC×CD+$\frac{1}{2}$×AB×DE，
即$\frac{1}{2}$6×8=$\frac{1}{2}$×6×CD+$\frac{1}{2}$×10×CD，
解得CD=3．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，熟记性质并作辅助线是解题的关键，利用三角形的面积列出方程求解更简便．