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    【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，△ABC绕点B逆时针旋转，当点C的对应点C1落在边AC上时，设AC的对应边A1C1与AB的交点为E，则∠BEC1＝___°．

    【答案】72

    【解析】

    根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝72°，根据三角形的内角和得到∠CBC1＝180°﹣72°﹣72°＝36°，求得∠ABC1＝72°﹣36°＝36°，根据旋转的性质得到∠A1C1B＝∠C＝72°，于是得到结论．

    ∵AB＝AC，∠C＝72°，

    ∴∠ABC＝∠C＝72°，

    ∴∠CBC1＝180°﹣72°﹣72°＝36°，

    ∴∠ABC1＝72°﹣36°＝36°，

    ∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△A1BC1，

    ∴A1C1B＝∠C＝72°，

    ∴∠BEC1＝72°，

    故答案为：72．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B(4，0)，抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E现有下列结论：①b2﹣4a＜0；②b＞0；③5a+b＜0；④AD+CE＝4．其中正确结论个数为( )

    A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图是某同学对一道作业题的解题思路，课堂上师生据此展开了讨论．问题如图，已知A（1，）、B（4，0），∠OAB的平分线AC交x轴于点C，求OC的长．思路：作AD⊥OB，CE⊥AB，CF⊥OA

    ①A坐标→OD＝1，AD＝，OA＝2→∠AOC＝60°；

    ②A、B坐标→OA＝2，OB＝4，AB＝2→∠OAB＝90°；

    ③AC平分∠OAB→CE＝CF；

    ④S△AOC+S△ABC＝S△AOB→AOCF+ABCE＝OAAB→CF＝3﹣；

    ⑤综上，Rt△OCF中，OC＝﹣2．可以优化吗？

    （1）同学们发现不需要证“∠OAB＝90°”也能求解，简要说明理由．几位同学提出了不同的思路

    ①甲说：S△AOC和S△ABC的面积之比既是，又是，从而；

    ②乙说：在AB边上取点G，使AG＝AO，连接CG，可知BG的长即为所求；

    ③丙说：延长AC交△AOB的外接圆于N，再利用一次函数或相似求出OC．

    请你选择其中一种解法，利用图2和已有步骤完成解答．有什么收获？

    （2）面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法，请利用面积法求解：如图1，⊙O与△ABC的边AC，边BA、BC的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F．设△ABC的面积为S，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半径R，直接写出结果．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，已知：关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.

    (1)求二次函数的表达式；

    (2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形.若存在，请求出点P的坐标；

    (3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到 达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

    【答案】8.7米

    【解析】试题分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．

    试题解析：∵∠CBD=∠A+∠ACB，

    ∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，

    ∴∠A=∠ACB，

    ∴BC=AB=10（米）．

    在直角△BCD中，CD=BCsin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．

    答：这棵树CD的高度为8.7米．

    考点：解直角三角形的应用

    【题型】解答题
    【结束】
    23

    【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．

    （1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；

    （2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；

    （3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．

    （1）填空：PC＝　 　，FC＝　 　；（用含x的代数式表示）

    （2）求△PEF面积的最小值；

    （3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，Rt△ABC在第一象限， ，AB=AC=2，点A在直线上，其中点A的横坐标为1，且AB∥轴，AC∥轴，若双曲线与有交点，则k的取值范围是_______.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．

    （1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；

    （2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．

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    【题目】某中学为调查本校学生平均每天完成作业所用时间的情况，随机调查了50名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分．

    请根据以上信息，解答下列问题：

    (1)将统计图补充完整；

    (2)若该校共有1 800名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生平均每天完成作业所用总时间．

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