Question

已知：AD、AE分别是△ABC的内外角平分线，M为DE中点，求证：

AB2

AC2

=

BM

CM

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接AM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角、三角形外角的性质，证明∠B=∠3，易证△BMA∽△AMC，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等即可证得．

解答：证明：连接AM．
∵AD、AE分别为三角形ABC的内、外角平分线，
∴∠DAE=90°又∵M为DE中点，
∴AM=

1

2

DE=DM，
∴∠MDA=∠MAD=∠2+∠3
又∵∠MDA=∠1+∠B
∴∠1+∠B=∠2+∠3
∵∠1=∠2
∴∠B=∠3
又∵∠BMA=∠AMC
∴△BMA∽△AMC
∴

AB

AC

=

AM

CM

=

BM

AM

，
∴

AB2

AC2

=

AM2

CM2

-----------（1）
由

AM

CM

=

BM

AM

，
得：AM²=BM•CM-------------（2）
将（2）代入（1）得：

AB2

AC2

=

BM•CM

CM2

=

BM

CM

，即：

AB2

AC2

=

BM

CM

．

点评：本题考查了直角三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质，正确证明△BMA∽△AMC是关键．