Question

问题：
已知方程x²+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=

y

2

．
把x=

y

2

代入已知方程，得（

y

2

）²+

y

2

-1=0．
化简，得：y²+2y-4=0．
这种利用方程根的代替求新方程的方法，我们成为“换根法”，请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）；
（1）已知方程x²+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
（2）已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

Answer 1

考点：一元二次方程的解

专题：阅读型

分析：（1）设所求方程的根为y，则y=-x，则x=-y．将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可；
（2）设所求方程的根为y，则y=

1

x

，将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可．

解答：解：（1）设所求方程的根为y，则y=-x，则x=-y．
把x=-y代入已知方程x²+x-2=0，
得 （-y）²+（-y）-2=0．
化简，得：y²-y-2=0．

（2）设所求方程的根为y，则y=

1

x

，所以x=

1

y

把x=

1

y

代入已知方程ax²+bx+c=0（a≠0）得
a（

1

y

）²+b•

1

y

+c=0，
去分母，得 a+by+cy²=0．
若c=0，则ax²+bx=0，于是方程ax²+bx+c=0（a≠0）有一根为0，不符合题意．
∴c≠0，故所求的方程为：cy²+by+c=0（c≠0）．

点评：本题考查了一元二次方程的解．解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．