Question

如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求证：AD=BD；
（2）求CD的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：（1）由角平分线定义得∠ACD=∠BCD，则根据圆周角定理得弧AD=弧BD，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到AD=BD；
（2）作CH⊥AB于H，连接OD，CD与AB交于E点，如图，先根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=∠ADB=90°，易判断△ABD为等腰直角三角形，则OD⊥AB，再证明Rt△ACH∽Rt△ABC，利用相似比计算出AH=

2

3

，则OH=OA-AH=

7

3

，于是在Rt△ACH中利用勾股定理可计算出CH=

4 2

3

，然后证明△CHE∽△DOE，
利用相似比可得到HE=

4 2

9

OE，CE=

4 2

9

DE，则利用HE+OE=

7

3

可计算出OE=

27-12 2

7

，接着在Rt△ODE中，根据勾股定理计算出DE=

36-9 2

7

，则CE=

16 2 -8

7

，最后计算DE与CE的和即可．

解答：（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴弧AD=弧BD，
∴AD=BD；
（2）解：作CH⊥AB于H，连接OD，CD与AB交于E点，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴OD⊥AB，
∵∠CAH=∠BAC，
∴Rt△ACH∽Rt△ABC，
∴AC：AB=AH：AC，即2：6=AH：2，解得AH=

2

3

，
∴OH=OA-AH=3-

2

3

=

7

3

在Rt△ACH中，CH=

AC2-AH2

=

4 2

3

，
∵CH∥OD，
∴△CHE∽△DOE，
∴

HE

OE

=

CE

DE

=

CH

OD

，即

HE

OE

=

CE

DE

=

4 2 3

3

=

4 2

9

，
即HE=

4 2

9

OE，CE=

4 2

9

DE，
而HE+OE=

7

3

，
∴

4 2

9

OE+OE=

7

3

，解得OE=

27-12 2

7

在Rt△ODE中，DE=

OD2+OE2

=

36-9 2

7

，
∴CE=

36-9 2

7

•

4 2

9

=

16 2 -8

7

，
∴CD=DE+CE=4+

2

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质．