Question

在等边△ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，求证：AB⊥EB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：由AO是∠BAC的平分线，得出∠CAD=30°，△ABC与△DCE是等边三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可证得∠ACD=∠BCE，所以根据SAS即可证得△ACD≌△BCE；得出∠CBE=∠CAD=30°，进一步得出∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，得出结论．

解答：证明：如图，

∵AO是∠BAC的平分线，△ABC与△DCE是等边三角形，
∴∠CAD=

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∠BAC=30°，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
∴∠CBE=∠CAD=30°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，
即AB⊥EB．

点评：此题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，垂直的判定以及角平分线的意义，结合图形，灵活解决问题．