Question

如图，已知四边形ABCD中，∠D=∠C=90°，AE平分∠BAD，点E是DC的中点，且E在DC上．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）求∠AEB；
（3）求证：AD+BC=AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）过E作EF⊥AB于F，根据角平分线性质得出EF=DE，推出EF=CE，根据角平分线性质得出即可；
（2）延长AE、BC交于点M，求出∠DAE=∠CME，AB=BM，根据ASA推出△ADE≌△MCE，根据全等得出AE=EM，∠DAE=∠M，求出∠M=∠BAE，推出AB=BM，根据等腰三角形的性质得出即可；
（3）根据全等三角形的性质得出AD=CM，即可得出答案．

解答：
（1）证明：过E作EF⊥AB于F，
∵∠D=90°，AE平分∠BAD，
∴EF=DE，
∵E为DC中点，
∴DE=EC，
∴EF=EC，
∵EF⊥AB，∠C=90°，
∴BE平分∠ABC；

（2）解：延长AE、BC交于点M，
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠CME，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAM，
∴∠BAM=∠CME，
∴AB=BM，
在△ADE和△MCE中

∠D=∠ECM DE=CE ∠AED=∠CEM

∴△ADE≌△MCE，
∴AE=EM，∠DAE=∠M
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠M=∠BAE，
∴AB=BM，
∵AE=EM，
∴BE⊥AM，
∴∠AEB=90°；

（3）证明：∵△ADE≌△MCE，
∴AD=CM，
∵AB=BM，BM=BC+CM，
∴AD+BC=AB．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．