Question

等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的高线，M是AD上的动点，E是AB上的一动点，求EM+BM的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,等腰三角形的性质

专题：

分析：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于M，连接EM，过B作BF⊥AC于F，根据三线合一定理求出BD的长，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出BF，根据对称性质求出BM+EM=BE，根据垂线段最短得出BM+EM≥

24

5

，即可得出答案．

解答：解：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于M，连接EM，过B作BF⊥AC于F，
∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的高线，
∴BD=DC=3，AD平分∠BAC，
∴E′在AC上，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=

52-32

=4，
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AD=

1

2

×AC×BF，
∴BF=

BC×AD

AC

=

6×4

5

=

24

5

，
∵E关于AD的对称点E′，
∴EM=E′M，
∴BM+EM=BM+E′M=BE′，
根据垂线段最短得出：BE′≥BF，
即BM+EM≥

24

5

，
即BM+EM的最小值是

24

5

．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．