Question

如图，抛物线y=x²+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）把A的坐标代入函数的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标；
（2）直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，BC的长就是最小值．

解答：解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x²+bx-2上，
∴b=-1，
∴抛物线解析式y=x²-x-2，
∵抛物线y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
∴顶点D的坐标（

1

2

，-

9

4

）；

（2）当x=0时，y=-2，
∴C（0，-2），
∴OC=2，
当y=0时，0=x²-x-2，解得：x=2或-1，
∴B（2，0），
∴OB=2，
由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，
∴AM=BM，
∴AM+CM=BM+CM≥BC=2

2

．
∴CM+AM的最小值是2

2

．

点评：本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，是关键．