Question

【题目】如图，D是等边△ABC的AB边上的一动点（不与端点A、B重合），以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE．

（1）无论D点运动到什么位置，图中总有一对全等的三角形，请找出这一对三角形，并证明你得出的结论；

（2）D点在运动过程中，直线AE与BC始终保持怎样的位置关系?并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）△BDC≌△AEC，理由见解析；（2）AE//BC，理由见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC，DC=EC，然后根据等式的基本性质可得∠BCD=∠ACE，再利用SAS即可证出结论；

（2）根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠DBC=∠EAC=60°，∠ACB=60°，然后利用平行线的判定即可得出结论．

（1）△BDC≌△AEC

理由如下：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，

∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC，DC=EC．

∴∠BCA－∠ACD=∠DCE－∠ACD

∴∠BCD=∠ACE

在△BDC和△AEC中

∴△BDC≌△AEC

（2）AE//BC

理由如下：∵△BDC≌△AEC，△ABC是等边三角形

∴∠DBC=∠EAC=60°，∠ACB=60°

∴∠EAC=∠ACB

故AE//BC