【题目】如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰和等腰,其中,CD与BE、AE分别交于点P、对于下列结论:
∽;;;.
其中正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
①根据两个三角形的两角相等证明相似三角形;
②根据两个三角形的两边比值相等证明△BAE∽△CAD即可的CD与BE的比值;
③根据△BAE∽△CAD,得∠BEA=∠CDA,再根据△PME∽△AMD,得MPMD=MAME;
④根据△PME∽△AMD ,得∠MPE=∠MAD=45°,再根据MPMD=MAME得△PMA∽△EMD,又因为∠APC=∠MAC=90°,∠ACP=∠MCA,所以△APC∽△MAC,则AC2=MCPC,再根据AC=BC,得2CB2=CPCM.
解:①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中,∠CAB=∠EAD=45°,
所以∠CAM=90°,
又因为∠CMA=∠DME(对顶角),∠AED=∠CAM=90°,
所以△CAM∽△DEM,故①正确.
②在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中,∠CAB=∠EAD=45°,AC=AB,AD=AE,
所以∠CAB+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD,
又因为=,所以△BAE∽△CAD.
则CD=BE,故②正确.
③由②中△BAE∽△CAD,得∠BEA=∠CDA,
又因为∠BEA=∠AMD,所以△PME∽△AMD,
所以=,即MPMD=MAME,故③正确.
④,由③中△PME∽△AMD ,得∠MPE=∠MAD=45°,
因为MPMD=MAME,所以=,所以△PMA∽△EMD,
所以∠APM=∠DEM=90°,
因为∠APC=∠MAC=90°,∠ACP=∠MCA,
所以△APC∽△MAC,
所以=,即AC2=MCPC,
又因为AC=BC,
所以2CB2=CPCM,故④正确.
故选:D.
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【题目】在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
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【题目】如图,直线y=2x+4分别与x轴,y轴交于B,A两点
(1)求△ABO的面积;
(2)如果在第三象限内有一点P(﹣1,m),请用含m的式子表示四边形AOPB的面积;
(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使四边形AOPB的面积是△ABO面积的2倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,D是等边△ABC的AB边上的一动点(不与端点A、B重合),以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE.
(1)无论D点运动到什么位置,图中总有一对全等的三角形,请找出这一对三角形,并证明你得出的结论;
(2)D点在运动过程中,直线AE与BC始终保持怎样的位置关系?并说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)和B(3,0)两点,交y轴于点E.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点,与y轴交于点F,连接DE,求△DEF的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位的小正方形,点A、B、C都是格点每个小方格的顶点叫格点,其中,,.
外接圆的圆心坐标是______;
外接圆的半径是______;
已知与点D、E、F都是格点成位似图形,则位似中心M的坐标是______;
请在网格图中的空白处画一个格点,使∽,且相似比为:1.
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【题目】已知:如图1,菱形ABCD的边长为6,∠DAB=60°,点E是AB的中点,连接AC、EC.点Q从点A出发,沿折线A﹣D﹣C运动,同时点P从点A出发,沿射线AB运动,P、Q的速度均为每秒1个单位长度;以PQ为边在PQ的左侧作等边△PQF,△PQF与△AEC重叠部分的面积为S,当点Q运动到点C时P、Q同时停止运动,设运动的时间为t.
(1)当等边△PQF的边PQ恰好经过点D时,求运动时间t的值;当等边△PQF的边QF 恰好经过点E时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,请求出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)如图2,当点Q到达C点时,将等边△PQF绕点P旋转α°(0<α<360),直线PF分别与直线AC、直线CD交于点M、N.是否存在这样的α,使△CMN为等腰三角形?若存在,请直接写出此时线段CM的长度;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ACD中,AD=9,CD=3,△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,若∠CAB=60°,∠ADC=30°,在△ACD外作等边△ADD′
①求证:BD=CD′;
②求BD的长.
(2)如图2,若∠CAB=90°,∠ADC=45°,求BD的长.
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【题目】下列命题的逆命题是真命题的是( )
A.两直线平行,同位角相等
B.等边三角形是锐角三角形
C.如果两个实数是正数,那么它们的积是正数
D.全等三角形的对应角相等
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