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【题目】如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰和等腰,其中,CDBE、AE分别交于点P、对于下列结论:

其中正确的是  

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

①根据两个三角形的两角相等证明相似三角形;

②根据两个三角形的两边比值相等证明BAE∽△CAD即可的CDBE的比值;

③根据BAE∽△CAD,得∠BEA=CDA,再根据PME∽△AMD,得MPMD=MAME;

④根据PME∽△AMD ,得∠MPE=MAD=45°,再根据MPMD=MAMEPMA∽△EMD,又因为∠APC=MAC=90°,ACP=MCA,所以APC∽△MAC,则AC2=MCPC,再根据AC=BC,得2CB2=CPCM.

解:①在等腰RtABC和等腰RtADE中,∠CAB=EAD=45°,

所以∠CAM=90°,

又因为∠CMA=DME(对顶角),∠AED=CAM=90°,

所以CAM∽△DEM,故①正确.

②在等腰RtABC和等腰RtADE中,∠CAB=EAD=45°,AC=AB,AD=AE,

所以∠CAB+CAE=EAD+CAE,即∠BAE=CAD,

又因为=,所以BAE∽△CAD.

CD=BE,故②正确.

③由②中BAE∽△CAD,得∠BEA=CDA,

又因为∠BEA=AMD,所以PME∽△AMD,

所以=,即MPMD=MAME,故③正确.

④,由③中PME∽△AMD ,得∠MPE=MAD=45°,

因为MPMD=MAME,所以=,所以PMA∽△EMD,

所以∠APM=DEM=90°,

因为∠APC=MAC=90°,ACP=MCA,

所以APC∽△MAC,

所以=,即AC2=MCPC,

又因为AC=BC,

所以2CB2=CPCM,故④正确.

故选:D.

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