Question

【题目】已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C，D，PE是⊙O的切线，E为切点，连接AE，交CD于点F.

（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；

（2）证明：PE＝PF；

（3）若PF＝13，sinA＝，求EF的长.

Answer 1

【答案】（1）CD的长为；

（2）证明见解析；

（3）EF的长为10.

【解析】试题分析：（1）首先连接OD，由直线PD垂直平分 O的半径OA于点B， O的半径为8，可求得OB的长，又由勾股定理，可求得BD的长，然后由垂径定理，求得CD的长；（2）由PE是 O的切线，易证得∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，继而可证得∠PEF=∠PFE，根据等角对等边的性质，可得PE=PF；（3）首先过点P作PG⊥EF于点G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PFsinA=13×=5，又由等腰三角形的性质，求得答案．

试题解析：(1)连接OD，

∵直线PD垂直平分O的半径OA于点B，O的半径为8，

∴OB=OA=4,BC=BD=CD，

∴在Rt△OBD中,BD=，

∴CD=2BD=；

(2)∵PE是O的切线，

∴∠PEO=90°，

∴∠PEF=90°∠AEO,∠PFE=∠AFB=90°∠A，

∵OE=OA，

∴∠A=∠AEO，

∴∠PEF=∠PFE，

∴PE=PF；

(3)过点P作PG⊥EF于点G，

∴∠PGF=∠ABF=90°，

∵∠PFG=∠AFB，

∴∠FPG=∠A，

∴FG=PFsinA=13×=5，

∵PE=PF，

∴EF=2FG=10.