Question

如图，△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=60°，D为BC上一点，∠ADC=60°．AE⊥BC于点E．CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．
（1）求证：DF=FG；
（2）若DC=2，AF=

3

，求线段EG的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意分析DF和FG分别放在三角形ADE和三角形CDF中，证明三角形ADE和三角形CDF全等即可得到DF=FG，全等的方法是，由AE⊥BC和CF⊥AD得到角CFD等于角AED，角ADC为公共角，根据∠ABC=45°，∠ADC=60°，利用三角形的外角的性质得到角BAD等于15°，由∠BAC=60°得到角FAC等于45°，所以三角形AFC为等腰直角三角形，得到AF等于CF，即可得到两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）在三角形CDF中，因为角FDC等于60°，角CFD等于90°，所以得到角DCF等于30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到FD等于CD的一半，由第一问的结论可知FG等于DF都等于1，由全等得到CF等于AF都等于

3

，利用CF减FG即可求出CG，所以EG等于CG的一半即可求出．

解答：证明：（1）∵∠ABC=45°，∠BAC=60°，
∴∠ADB=120°，又∵∠BAC=60°，
∴∠DAC=45°，
又∵CF⊥AD，
∴∠AFC=∠CFD=90°，∠ACF=∠DAC=45°，
∴AF=CF，
∴△AFG≌△CFD，
∴DF=FG；

（2）在Rt△CFD中，∠CFD=90°，∠FCD=30°，
∴DF=

1

2

CD=1，
∴FG=DF=1，
又∵△AFG≌△CFD，
∴CF=AF=

3

，
∴CG=CF-FG=

3

-1，在Rt△CGE中，∠AEC=90°，∠FCD=30°，
∴EG=

1

2

CG=

3 -1

2

．

点评：此题考查学生掌握三角形全等的证明方法，灵活运用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半化简求值，是一道综合题．