Question

在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分线，若F是AE上一点，且FG⊥BC，垂足为G，求证：∠EFG=

1

2

∠C-

1

2

∠B．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：证明题

分析：过点A作AD⊥BC于D，根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠EAC，根据直角三角形两锐角互余表示出∠DAC，然后表示出∠EAD，再根据两直线平行内错角相等可得∠EFG=∠EAD．

解答：解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠EAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

1

2

（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90°-∠C，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-

1

2

（∠B+∠C）-（90°-∠C）=

1

2

（∠C-∠B），
又∵FG⊥BC，
∴AD∥FG，
∴∠EFG=∠EAD，
∴∠EFG=

1

2

（∠C-∠B）．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．