Question

在△ABC中，∠A=60°，AB=10，AC=8，⊙O与边AB，AC相切，设⊙O与边AB相切的点为E．
（1）求⊙O的半径R与EA的长x之间的函数关系式；
（2）求当⊙O与△ABC三边相切时，⊙O的半径R；
（3）若⊙O在变化过程中都是落在△ABC内（含相切）时，写出x的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）设⊙O与边AC相切于点F，连接OA、OE、OF，如图1，根据切线的性质可得∠AEO=90°，根据切线长定理可得∠EAO=30°，然后在Rt△AEO中运用三角函数就可解决问题；
（2）过点C作CH⊥AB于H，设⊙O与边BC相切于点G，连接OG，OA、OB、OC，如图2，在Rt△AHC中运用三角函数可求出HC、AH，然后在Rt△BHC中运用勾股定理可求出BC，然后运用等积变换就可求出⊙O的半径；
（3）只需先求出临界位置（⊙O与△ABC三边相切）时对应的x的值，就可解决问题．

解答：解：（1）设⊙O与边AC相切于点F，连接OA、OE、OF，如图1．
根据切线的性质可得：∠AEO=∠AFO=90°，
根据切线长定理可得：∠EAO=∠FAO=

1

2

∠BAC=30°．
在Rt△AEO中，
tan∠EAO=

OE

AE

=

R

x

=

3

3

，
∴R=

3

3

x，
则⊙O的半径R与EA的长x之间的函数关系式为R=

3

3

x；

（2）过点C作CH⊥AB于H，设⊙O与边BC相切于点G，连接OG，OA、OB、OC，如图2，
则有OE⊥AB，OF⊥AC，OG⊥BC．
在Rt△AHC中，
HC=AC•sin∠HAC=8×

3

2

=4

3

，
AH=AC•cos∠HAC=8×

1

2

=4，
∴BH=AB-AH=10-4=6．
在Rt△BHC中，
BC²=BH²+CH²=36+48=84，
∴BC=2

21

．
∵S_△ABC=S_△ABO+S_△BCO+S_△ACO，
∴

1

2

AB•CH=

1

2

AB•OE+

1

2

BC•OG+

1

2

AC•OF，
∴10×4

3

=10R+2

21

R+8R，
解得：R=3

3

-

7

，
∴当⊙O与△ABC三边相切时，⊙O的半径R为3

3

-

7

；

（3）由（2）可知：当⊙O与△ABC三边相切时，R=3

3

-

7

．
此时，由R=

3

3

x得x=

3

R=9-

21

，
∴x的取值范围为0＜x≤9-

21

．

点评：本题主要考查了切线的性质、切线长定理、三角函数、勾股定理等知识，运用等积变换是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置是解决第（3）小题的关键．