Question

【题目】（10分）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．

（1）求证：BF=BD；

（2）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，作图略；PG=PF．

【解析】试题分析：（1）利用三角形中位线定理得出BF=AC，再利用圆心角定理得出=，进而得出BF=BD；

（2）首先过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，得出BP⊥AE，进而证明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF．

试题解析：（10分）

（1）证明：连接AC，

∵AB=BE，∴点B为AE的中点，

∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，

∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；

（2）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，

∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，

∵=，∴∠CAB=∠DBA，

∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，

∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，

在△PBG和△PBF中，

，

∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．