Question

19．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，在△ABC所在平面内有点D（点D不在△ABC内部也不在其边上），如图，连接BD、AD、CD，若∠1=∠2，求证：∠DBC=∠DCB．

Answer 1

分析 过A作AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，根据角平分线的性质得到AE=AF，证得R_t△AEB≌R_t△AFC，得到BE=CF，证得R_t△AED≌R_t△AFD，得到DE=DF，于是得到结论．

解答 证明：过A作AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，
∵∠1=∠2，
∴AE=AF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
在R_t△AEB与R_t△AFC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴R_t△AEB≌R_t△AFC，
∴BE=CF，
在R_t△AED与R_t△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴R_t△AED≌R_t△AFD，
∴DE=DF，
∴DE-BE=DF-CF，
即BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．