Question

【题目】已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF=BA，BE=BC，连接AE，EF，FC，CA．

（1）求证：四边形AEFC为矩形；

（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，AB=4，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）ED=4．.

【解析】

（1）根据菱形的性质以及矩形的判定证明即可；

（2）连接DB，根据菱形的判定和性质以及直角三角形的性质解答即可．

（1）证明：∵BF=BA，BE=BC，

∴四边形AEFC为平行四边形，

∵四边形ABCD为菱形，

∴BA=BC，

∴BE=BF，

∴BA+BF=BC+BE，即AF=EC，

∴四边形AEFC为矩形；

（2）连接DB，

由（1）可知，AD∥EB，且AD=EB，

∴四边形AEBD为平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴四边形AEBD为菱形，

∴AE=EB，AB=2AG，ED=2EG，

∵矩形ABCD中，EB=AB，AB=4，

∴AG=2，AE=4，

∴在Rt△AEG中，EG=2，

∴ED=4．