Question

【题目】如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高AD＝10．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQMN，PN交AD于E．求

（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的长；

（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．

Answer 1

【答案】（1）PQ＝，PN＝；（2）PQ＝5，PN＝6．

【解析】

（1）设PQ＝y，则PN＝2y，根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题；

（2）设AE＝x．利用相似三角形的性质，用x表示PN，PQ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．

解：（1）设PQ＝y，则PN＝2y，

∵四边形PQMN是矩形，

∴PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∵AD⊥BC，

∴AD⊥PN，

∴＝，即＝，

解得y＝，

∴PQ＝，PN＝．

（2）设AE＝x．

∵四边形PQMN是矩形，

∴PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∵AD⊥BC，

∴AD⊥PN，

∴＝，

∴PN＝x，PQ＝DE＝10﹣x，

∴S矩形PQMN＝x（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+30，

∴当x＝5时，S的最大值为30，

∴当AE＝5时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是30，

此时PQ＝5，PN＝6．