Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(-1，0)，B(4，0)，C(0，-4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

（1）写出这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由；

（3）过点P作x轴的垂线，交直线BC于点E，动点P运动到什么位置时，线段PE的值最大，求出此时P点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，(，﹣2)；（3）当m=2时，PE的值最大，此时P点坐标为(2，-6)

【解析】

（1）把已知的点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法直接求解．

（2）利用△POC是以OC为底边的等腰三角形，所以，所以P在OC的垂直平分线上，点P在直线BC下方抛物线上，所以P是垂直平分线与抛物线的交点，通过解方程得到答案．

（3）过点P作x轴的垂线，交BC于E，设出P的坐标，可知E的横坐标与P的横坐标相同，利用直线BC的解析式表示E的纵坐标，由PE＝建立函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可．

解：（1）设抛物线为：

把A(-1，0)，B(4，0)，C(0，-4)代入得：

解得：

所以抛物线解析式为

（2）作OC的垂直平分线DP，

交OC于点D，交BC下方

抛物线于点P，如图1，

∴PO=PD，

此时P点即为满足条件的点，

∵C（0，-4），

∴D（0，﹣2），

∴P点纵坐标为﹣2，

代入抛物线解析式可得，

解得（小于0，舍去），

∴存在满足条件的P点，

其坐标为（，﹣2）

（3）∵点P在抛物线上，

可设P（m，m2-3m-4）

由B（4，0），C（0，-4）

所以直线B C的解析式为：y=x-4

∴点E坐标为（m，m-4）

∴PE= (m-4)-( m2-3m-4)

=-m2+4m

=-(m-2)2+4

∵-1<0

∴当m=2时，PE的值最大，

此时P点坐标为（2，-6）