Question

【题目】问题提出：

如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值

(1)尝试解决：

为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)

如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有

又∵∠PCD＝∠　 　

△　 　∽△　 　

∴

∴PD＝BP

∴AP+BP＝AP+PD

∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为　 　．

(2)自主探索：

如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为　 　．(请在图3中添加相应的辅助线)

(3)拓展延伸：

如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．

Answer 1

【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为．

【解析】

(1)连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；

(2)在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；

(3)延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，确定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．

解：

(1)如图1，

连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，

∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，

∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，

即：AP+BP最小值为AD，

∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°

∴CF＝3，AF＝；

∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，

∴AD＝，

∴AP+BP的最小值为；

故答案为：；

(2)如图2，

在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，

∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，

∴，且∠ABP＝∠ABP，

∴△ABP∽△PBF，

∴，

∴PF＝AP，

∴AP+PC＝PF+PC，

∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，

∴CF＝，

∴AP+PC的值最小值为2，

故答案为：2；

(3)如图3，

延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，

∵OC＝4，FC＝4，

∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，

∴，且∠AOP＝∠AOP

∴△AOP∽△POF

∴，

∴PF＝2AP

∴2PA+PB＝PF+PB，

∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，

∵∠COD＝120°，

∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM

∴OM＝4，FM＝4，

∴MB＝OM+OB＝4+3＝7

∴FB＝，

∴2PA+PB的最小值为．