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【题目】一副三角尺按如图所示摆放在量角器上,边PD与量角器0°刻度线重合,边AP与量角器180°刻度线重合,将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转,当边PB与0°刻度线重合时停止运动,设三角尺ABP的运动时间为t.

(1)当t=5时,边PB经过的量角器刻度线对应的度数是多少度;

(2)当t等于多少秒时,边PB平分∠CPD;

(3)若在三角尺ABP开始旋转的同时,三角尺PCD也绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转,当三角尺ABP停止旋转时,三角尺PCD也停止旋转.

当t为何值时,边PB平分∠CPD;

在旋转过程中,是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC,若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)115;(2)26.25;(3)①t=21秒,②t=25秒时,∠BPD=2∠APC.

【解析】

(1)当t=5秒时,由旋转知,4°×5=20°即可得出结论;

(2)由旋转知,旋转角为4t,进而建立方程4t=180-×60-45=105,即可得出结论;

(3)①由旋转建立方程4t=180-×60-t-45,即可得出结论;

②分两种情况表示出∠APC,BPD,用∠BPD=2APC,建立方程即可得出结论.

(1)当t=5秒时,由旋转知,4°×5=20°,

∵△ABP是等腰直角三角形,

∴∠APB=45°,

此时,边PB经过量角器刻度对应的度数是135°,

∴旋转5秒时,边PB经过量角器刻度对应的度数是135°﹣20°=115°,

(2)由旋转知,旋转角为4t,

∵边PB平分∠CPD且∠DPC=60°,

4t=180﹣×60﹣45=105,

t=26.25秒,

(3)①同(2)的方法得,4t=180﹣×60﹣t﹣45,

t=21

②当边PA在边PC左侧时,

由旋转知,∠APC=180﹣4t﹣60=120﹣4t,BPD=180﹣45﹣t=135﹣t,

∵∠BPD=2APC,

135﹣t=2(120﹣4t),

t=21秒,

当边PA在边PC右侧时,

由旋转知,∠APC=4t+t+60﹣180=5t﹣120,BPD=135﹣5t,

∵∠BPD=2APC,

135﹣5t=2(5t﹣120),

t=25秒,

t=21秒或25秒时,∠BPD=2APC.

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