Question

4．如图，已知正方形的边长为6，甲比乙的面积之和小6，则A到线段ED的距离为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 过E作EF∥AD交CB的延长线于F，过A作AG⊥BC于G，根据正方形的性质得到BE∥CD，∠CBE=∠C=90°，BE=CD，证得△BEF≌△CDN，由全等三角形的性质得到BF=CN通过△AMN∽△EMF，由相似三角形的性质得到$\frac{AG}{BE}=\frac{MN}{MF}$，设AG=h，MN=a，则MF=6-a，得到$\frac{h}{6}=\frac{a}{6-a}$ ①，根据已知条件得到 $\frac{1}{2}$（6-a）×6-6=$\frac{1}{2}$ah  ②，解方程组即可得到结论．

解答 解：过E作EF∥AD交CB的延长线于F，过A作AG⊥BC于G，
∵四边形EBCD是正方形，
∴BE∥CD，∠CBE=∠C=90°，BE=CD，
∴∠FEB=∠CDN，
在△BEF与△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠C=90°}\\{BE=CD}\\{∠BEF=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CDN，
∴BF=CN，
∵EF∥AD，
∴△AMN∽△EMF，
∴$\frac{AG}{BE}=\frac{MN}{MF}$，
设AG=h，MN=a，则MF=6-a，
∴$\frac{h}{6}=\frac{a}{6-a}$ ①，
∵S_甲=$\frac{1}{2}$ah，S_乙+S_丙=S_△EFM=$\frac{1}{2}$（6-a）×6，
∵甲比乙和丙的面积之和小6，
∴$\frac{1}{2}$（6-a）×6-6=$\frac{1}{2}$ah  ②，
由①②解得：h=4，
∴A到线段ED的距离为4+6=10．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．