Question

12．己知抛物线y=x²+2mx-n与x轴没有交点，则m+n的取值范围是＜$\frac{1}{4}$且m≠0，n≠0．

Answer 1

分析 由抛物线y=x²+2mx-n与x轴没有交点，得到a=1＞0，推出函数值y＞0，得到n＜0，求出抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{2}$，于是得到y=x²+2mx-n=$\frac{1}{4}$-m-n=$\frac{1}{4}$-（m+n）＞0，即可得到结论．

解答 解：∵抛物线y=x²+2mx-n与x轴没有交点，
∴△=4m²+4n＜0
∴n＜-m²
∴m+n＜m-m²=-（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$
∴m+n＜$\frac{1}{4}$
当m=0，n=$\frac{1}{8}$，抛物线y=x²+2mx-n与x轴有交点，
∵n＜0，
∴m+n的取值范围是＜$\frac{1}{4}$且m≠0，n≠0．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线y=ax²+bx+c与轴有两个交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根即△＞0；当抛物线y=ax²+bx+c与轴有一个交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根即△=0；当抛物线y=ax²+bx+c与轴无交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根即△＜0．