Question

5．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，FC，下列结论：
①∠BAG=30°
②△GFC是等腰三角形
③AG∥CF
④S_△FGC=3，其中正确结论是②③．

Answer 1

分析 根据翻转变换的性质、等腰三角形的判定定理、正方形的性质进行判断即可．

解答 解：∵AB=6，CD=3DE，
∴DE=2，CE=4，
由折叠的性质可知，AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则CG=6-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，
解得x=3．
∴BG=3，
∵AB=6，
∴AG=3$\sqrt{5}$，
∴∠BAG≠30°，①错误；
∵BG=GF，GF=GC，
∴GF=GC，即△GFC是等腰三角形，②正确；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，又∠AGB=∠AGF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴AG∥CF，③正确；
∵S_△GCE=$\frac{1}{2}$GC•CE=$\frac{1}{2}$×3×4=6
∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，
∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，
∴S_△GFC=$\frac{3}{5}$×6=$\frac{18}{5}$≠3．④错误．
故答案为：②③．

点评 本题考查的是翻转变换的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．