Question

14．如图，抛物线y=-x²+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，3）两点．
（1）试求抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）动点E从O点沿OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时动点F沿AB方向以$\sqrt{2}$个单位/秒的速度向终点B匀速运动，E、F任意一点到达终点时另一个点停止运动，连接EF，设运动时间为t，当t为何值时△AEF为直角三角形？
（3）抛物线位于第一象限的图象上是否存在一点P，使△PAB面积最大？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线和直线AB的解析式；
（2）骼t可表示出OE、AF、AE的长，分∠AEF=90°和∠AFE=90°两种情况，可分别证明△AOB∽△AEF和△AOB∽△AFE，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）过P作PC∥y，AB于点C，交x轴于点D，可设出P点坐标，用P点坐标可表示也PC的长，从而可表示出△PAB的面积，根据二次函数的性质可求得其取得最大值时P点的坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线y=-x²+bx+c（a≠0）经过A（3，0），B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
设直线y=kx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+3；

（2）由题意可知OE=t，则AF=$\sqrt{2}$t，AE=3-t，
∵△AEF为直角三角形，
∴有∠AEF=90°和∠AFE=90°两种情况，
①当∠AEF=90°时，则有△AOB∽△AEF，
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AO}{AE}$，即$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}t}$=$\frac{3}{3-t}$，解得t=$\frac{3}{2}$；
②当∠AFE=90°时，则有△AOB∽△AFE，
∴$\frac{OA}{AF}$=$\frac{AB}{AE}$，即$\frac{3}{\sqrt{2}t}$=$\frac{3\sqrt{2}}{3-t}$，解得t=1；
综上可知当t为$\frac{3}{2}$或1时△AEF为直角三角形；

（3）如图，过P作PC∥y，AB于点C，交x轴于点D，

设P（x，-x²+2x+3）（0＜x＜3），则C（x，-x+3），
∵P为抛物线在第一象限内的点，
∴PC=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x，
∴S_△PAB=S_△PBC+S_△PAC=$\frac{1}{2}$PC•OD+$\frac{1}{2}$PC•AD=$\frac{1}{2}$PC•OA=$\frac{3}{2}$PC=$\frac{3}{2}$（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，S_△PAB有最大值$\frac{27}{8}$，此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的性质和判定、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用t表示出OE、AE、AF的长是解题的关键，注意分两种情况，在（3）中用P点坐标表示出△PAB的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．